关于求圆锥曲线方程的方法

高考要求

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法  

重难点归纳  

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤  

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置  

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx²+ny²=1(m＞0,n＞0)  

定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小  

典型题例示范讲解

例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m    建立坐标系并写出该双曲线方程  

命题意图   本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力  

知识依托   待定系数法求曲线方程；点在曲线上，点的坐标适合方程；积分法求体积  

错解分析   建立恰当的坐标系是解决本题的关键  

技巧与方法   本题是待定系数法求曲线方程  

解   如图，建立直角坐标系xOy,使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴   

设双曲线方程为 =1(a＞0,b＞0),则a= AA′=7

又设B(11,y₁),C(9,x₂)因为点B、C在双曲线上，所以有

由题意，知y₂－y₁=20,由以上三式得   y₁=－12,y₂=8,b=7

故双曲线方程为 =1