关于求空间的角的问题

重难点归纳

空间角的计算步骤   一作、二证、三算

1   异面直线所成的角  范围   0°＜θ≤90°

方法   ①平移法；②补形法  

2   直线与平面所成的角  范围   0°≤θ≤90°

方法   关键是作垂线，找射影  

3   二面角

方法   ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法  

注1   二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算  

注2   借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果  

4．三种空间角的向量法计算公式：

⑴异面直线 所成的角 ： ；

⑵直线 与平面 (法向量 )所成的角 ： ；

⑶锐二面角 ： ，其中 为两个面的法向量。

典型题例示范讲解

例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点   

(1)求证   四边形B′EDF是菱形；

(2)求直线A′C与DE所成的角；

(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；

(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角  

命题意图   本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强  

知识依托   平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角  

错解分析   对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面  

技巧与方法   求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法   求二面角的大小也可应用面积射影法  

(1)证明   如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′= a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EG AB A′B′知，B′EGA′是平行四边形  

∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形